Pentominós: a história das 12 peças e de Golomb

Por Nesim Razon, desenvolvedor Android independente · 2026-11-10

Pegue cinco quadrados e una-os pelos lados. Dá para fazer isso de exatamente doze maneiras diferentes, e essas doze formas ocupam matemáticos, fabricantes de quebra-cabeças e estudantes entediados há mais de setenta anos. Esta é a breve história dos pentominós.

O que é um pentominó?

Um pentominó é uma forma plana feita de cinco quadrados idênticos, em que cada quadrado divide um lado inteiro com pelo menos outro quadrado. Dois quadrados que só se tocam pelo canto não contam como unidos. Se você girar uma forma ou virá-la, ela continua sendo o mesmo pentominó, e com essa regra existem exatamente 12.

As formas feitas de quadrados unidos pelos lados têm um nome geral: poliminós. Um quadrado é um monominó, dois quadrados formam o conhecido dominó, três formam um triminó (2 tipos), quatro um tetraminó (5 tipos), cinco um pentominó (12 tipos) e seis um hexaminó (35 tipos). Os números crescem muito rápido depois disso, e é por isso que os pentominós são um ponto ideal: um conjunto pequeno, fácil de guardar na cabeça, mas rico o bastante para criar quebra-cabeças profundos.

Golomb e a invenção da palavra

A pessoa que deu nome a essas formas foi Solomon W. Golomb, um matemático americano. Em 1953 ele deu uma palestra no Clube de Matemática de Harvard sobre as formas que podem ser montadas com quadrados e as chamou de poliminós. A palavra é uma brincadeira com dominó. Golomb leu o começo da palavra dominó como se fosse o prefixo di-, que significa dois, e colocou no lugar outros prefixos numéricos: triminó, tetraminó, pentominó e assim por diante.

O primeiro artigo completo sobre o assunto, Checker Boards and Polyominoes, saiu na revista American Mathematical Monthly em 1954. Nele, Golomb fazia perguntas que parecem jogos. Dá para cobrir um tabuleiro de xadrez com certos poliminós? Quais formas preenchem um retângulo? Anos depois, ele reuniu as ideias no livro Polyominoes (1965), que continua sendo uma introdução clássica.

As doze letras

Os doze pentominós são conhecidos pelas letras a que se parecem: F, I, L, N, P, T, U, V, W, X, Y e Z. O conjunto em ordem alfabética é FILNPTUVWXYZ, e essa também é a ordem em que as peças aparecem no aplicativo Pentolings. As letras são uma abreviação: o I é uma linha reta de cinco quadrados, o X é um sinal de mais, o V é um canto com dois braços de três, e assim por diante.

Algumas letras escondem fatos interessantes. O X é o único pentominó que parece igual em qualquer direção em que seja girado, então tem apenas uma posição na grade. O I tem duas, porque pode ficar deitado ou em pé. O T, o U, o V, o W e o Z têm quatro posições cada, e os outros cinco (F, L, N, P e Y) têm oito, porque virá-los dá posições novas. Somando tudo, são 63 posições. Se não for permitido virar, existem 18 peças diferentes, porque seis das doze (F, L, N, P, Y e Z) vêm em duas versões espelhadas.

Martin Gardner e a faísca de 1957

Os poliminós teriam continuado um cantinho da matemática se Martin Gardner não tivesse reparado neles. Gardner escrevia a coluna Mathematical Games na Scientific American e, em 1957, apresentou os pentominós a um público amplo. Os leitores adoraram. Eram simples o bastante para recortar em papel, e os quebra-cabeças que vinham com eles eram difíceis o bastante para manter as pessoas ocupadas por semanas.

Aquela coluna ajudou a iniciar um longo hábito. Fabricantes de quebra-cabeças passaram a vender conjuntos com as doze peças e as formas continuaram aparecendo em desafios e jogos posteriores. O próprio Golomb seguiu escrevendo sobre poliminós e matemática recreativa, e o termo que ele criou em 1953 é o que todo mundo ainda usa.

Os retângulos: 2339 maneiras de preencher um 6x10

O desafio clássico dos pentominós é este: colocar as doze peças, cada uma uma vez, em um retângulo sem deixar vãos. As doze peças cobrem 60 quadrados, então o retângulo precisa ter área 60. Quatro formas são possíveis: 6x10, 5x12, 4x15 e 3x20. O número de soluções diferentes diminui conforme o retângulo fica mais fino. Se contarmos como uma só as soluções que diferem apenas por girar ou espelhar o retângulo inteiro, os números são:

6x10: 2339 soluções. 5x12: 1010. 4x15: 368. 3x20: apenas 2. Esses números foram obtidos com buscas exaustivas em computador e servem como boa verificação para qualquer resolvedor de pentominós. No Pentolings, o último nível do modo Encaixar é um retângulo 6x10 com o conjunto completo, então você resolve um quebra-cabeça que tem milhares de respostas válidas, e o jogo aceita qualquer uma delas.

Além do cinco: famílias maiores e menores

Os pentominós são um membro de toda uma família, e os números mostram por que cinco quadrados é um tamanho tão confortável. Contando como a mesma forma as que se obtêm girando ou virando, existem 1 monominó, 1 dominó, 2 triminós, 5 tetraminós e 12 pentominós. Depois a conta salta para 35 hexaminós e 108 heptaminós. A partir daí, ninguém consegue guardar o conjunto inteiro na cabeça e os quebra-cabeças perdem o jeito amigável.

Cada tamanho tem seu caráter. Os tetraminós são tão poucos que se aprendem em um minuto, mas não dão conta sozinhos de quebra-cabeças de retângulos interessantes. Os hexaminós exigem um livro para aprender. Os pentominós ficam no meio: dá para aprender os doze em uma tarde e ainda passar anos com eles.

Experimente com papel

Você não precisa de um aplicativo para conhecer os pentominós. Desenhe uma grade em papel quadriculado, recorte as doze formas guiando-se pelas letras e tente montar um retângulo 6x10. Muitos iniciantes começam pelo retângulo 3x20 achando que é mais fácil e desistem, porque ele tem apenas duas respostas verdadeiras e é o mais difícil dos quatro. Comece melhor com 6x10 ou 5x12, onde há mais de um caminho certo.

Um bom primeiro objetivo é colocar o X, a única peça que parece igual por todos os lados, depois o I comprido, e então trabalhar com as peças que abraçam as bordas. Se travar, separe uma forma que não consegue colocar e teste as outras sem ela, porque as duas ou três últimas peças costumam se encaixar juntas.

Por que são tão bons como quebra-cabeças

Os pentominós estão em um ponto ideal. Com 12 peças, você ainda consegue lembrar cada forma e seu nome. Com 63 posições, cada peça pode olhar para quase qualquer direção, então os desafios continuam flexíveis. E a ideia é fácil de explicar: preencha a forma, sem vãos. Iniciantes resolvem formas pequenas de três ou quatro peças, e especialistas podem passar uma noite em um único retângulo 5x12.

Foi por isso que construímos o Pentolings em torno deles: um modo alegre de encaixar peças com 150 níveis, mais um segundo modo em que as mesmas peças caem de cima e você estoura cores. Se quiser conhecer as doze peças aos poucos, os primeiros níveis usam apenas três peças por vez e cada mundo novo acrescenta mais uma.