Pentominolar: 12 Parçanın ve Golomb'un Hikâyesi

Nesim Razon, bağımsız Android geliştiricisi · 2026-11-10

Beş kareyi kenarlarından yapıştır. Bunu tam on iki farklı biçimde yapabilirsin ve bu on iki şekil yetmiş yılı aşkın süredir matematikçileri, bulmaca yapımcılarını ve canı sıkılan öğrencileri meşgul ediyor. İşte pentominoların kısa hikâyesi.

Pentomino nedir?

Pentomino, her karenin en az bir başka kareyle tam bir kenarı paylaştığı, beş özdeş kareden oluşan düz bir şekildir. Yalnızca köşeden değen iki kare birleşik sayılmaz. Bir şekli döndürürsen ya da ters çevirirsen yine aynı pentomino sayılır ve bu kuralla tam 12 tane vardır.

Karelerin kenarlarından birleşmesiyle oluşan şekillerin genel adı poliomino'dur. Bir kare monomino, iki kare tanıdık domino, üç kare tromino (2 çeşit), dört kare tetromino (5 çeşit), beş kare pentomino (12 çeşit), altı kare heksomino'dur (35 çeşit). Sayılar bundan sonra hızla büyür; pentominoları tatlı bir nokta yapan da budur: aklında tutabileceğin küçük bir takım, ama derin bulmacalar çıkaracak kadar zengin.

Golomb ve sözcüğün icadı

Bu şekillere adını veren kişi Amerikalı matematikçi Solomon W. Golomb'dur. 1953'te Harvard Matematik Kulübü'nde karelerden kurulabilen şekiller üzerine bir konuşma yaptı ve onlara poliomino dedi. Sözcük, domino sözcüğüne yapılmış bir şakadır. Golomb, domino sözcüğünün başını sanki iki anlamına gelen di- öneki gibi okudu ve yerine başka sayı önekleri koydu: tromino, tetromino, pentomino ve devamı.

Konuyla ilgili ilk kapsamlı makale, Checker Boards and Polyominoes, 1954'te American Mathematical Monthly dergisinde yayımlandı. Golomb orada oyun gibi duyulan sorular sordu. Bir satranç tahtasını belirli polyominolarla kaplayabilir misin? Hangi şekiller bir dikdörtgeni doldurur? Yıllar sonra fikirlerini Polyominoes (1965) adlı bir kitapta topladı; bu kitap hâlâ klasik bir giriş kaynağıdır.

On iki harf

On iki pentomino benzedikleri harflerle bilinir: F, I, L, N, P, T, U, V, W, X, Y ve Z. Alfabe sırasıyla takım FILNPTUVWXYZ'dir ve Pentolings uygulamasında parçalar da bu sırayla listelenir. Harfler bir kısaltmadır: I beş karelik düz çizgidir, X artıdır, V üçer karelik iki kolu olan bir köşedir ve böyle gider.

Bazı harfler ilginç gerçekler saklar. X, hangi yöne çevirirsen çevir aynı görünen tek pentominodur; bu yüzden ızgarada yalnızca bir duruşu vardır. I'nın iki duruşu vardır; yatabilir ya da dikilebilir. T, U, V, W ve Z'nin dörder duruşu, kalan beşinin (F, L, N, P ve Y) ise sekizer duruşu vardır; çünkü onları ters çevirmek yeni duruşlar verir. Hepsini toplarsan toplam 63 duruş çıkar. Ters çevirmeye izin vermezsen 18 farklı parça olur; çünkü on ikinin altısı (F, L, N, P, Y ve Z) iki ayna biçiminde gelir.

Martin Gardner ve 1957 kıvılcımı

Martin Gardner fark etmeseydi poliominolar matematiğin bir köşesinde kalabilirdi. Gardner, Scientific American dergisinde Mathematical Games köşesini yazıyordu ve 1957'de pentominoları orada geniş bir kitleyle tanıştırdı. Okurlar bayıldı. Kâğıttan kesmek için yeterince basitti, beraberinde gelen bulmacalar ise insanları haftalarca meşgul edecek kadar zordu.

O yazı uzun bir alışkanlığın başlamasına yardım etti. Bulmaca üreticileri on iki parçalık takımlar satmaya başladı ve şekiller sonraki bulmaca ve oyunlarda tekrar tekrar karşımıza çıktı. Golomb ise poliominolar ve eğlence matematiği üzerine yazmayı sürdürdü; 1953'te ortaya attığı terim hâlâ herkesin kullandığı terimdir.

Dikdörtgen bulmacaları: 6x10'u doldurmanın 2339 yolu

Klasik pentomino meydan okuması şudur: on iki parçanın hepsini, her birini bir kez kullanarak boşluksuz bir dikdörtgene yerleştir. On iki parça 60 kareyi kapladığından dikdörtgenin alanı 60 olmalıdır. Dört şekil mümkündür: 6x10, 5x12, 4x15 ve 3x20. Dikdörtgen inceldikçe farklı çözüm sayısı azalır. Tüm dikdörtgeni döndürmek ya da aynalamakla birbirinden ayrılan çözümleri bir sayarsak sayılar şöyledir:

6x10: 2339 çözüm. 5x12: 1010. 4x15: 368. 3x20: yalnızca 2. Bu sayılar bilgisayarla yapılan kapsamlı taramalarla bulundu ve herhangi bir pentomino çözücüsü için iyi bir sağlama oluşturur. Pentolings'te Döşe modunun son bölümü, tam takımla 6x10'luk bir dikdörtgendir; yani binlerce geçerli cevabı olan bir bulmacayı çözüyorsun ve oyun bunlardan herhangi birini kabul ediyor.

Beşin ötesi: daha büyük ve daha küçük aileler

Pentominolar koca bir ailenin üyelerinden biridir ve sayılar beş karenin neden bu kadar rahat bir boyut olduğunu gösterir. Döndürülüp çevrilmiş bir şekil aynı sayıldığında 1 monomino, 1 domino, 2 tromino, 5 tetromino ve 12 pentomino vardır. Sonra sayı 35 heksomino ve 108 heptomino'ya sıçrar. Bundan sonrasında kimse tüm takımı aklında tutamaz ve bulmacalar dostça havasını kaybeder.

Her boyutun kendi karakteri var. Tetrominolar o kadar azdır ki bir dakikada öğrenilir, ama tek başlarına ilginç dikdörtgen bulmacaları kuramazlar. Heksominoları öğrenmek için kitap gerekir. Pentominolar ortadadır: on ikisini bir öğleden sonra öğrenebilirsin ve yine de yıllarını onlara verebilirsin.

Kâğıtla dene

Pentominolarla tanışmak için uygulama gerekmez. Kareli kâğıda bir ızgara çiz, on iki şekli harfleri rehber alarak kes ve 6x10'luk bir dikdörtgen kurmayı dene. Yeni başlayanlar genellikle daha kolay sanıp 3x20'lik dikdörtgenle başlar ve vazgeçer; çünkü yalnızca iki gerçek cevabı vardır ve dördünün en zorudur. Bunun yerine, doğru gitmenin birden fazla yolu olan 6x10 ya da 5x12 ile başla.

İyi bir ilk hedef, her yönden aynı görünen tek parça olan X'i yerleştirmek, sonra uzun I'yı koymak ve ardından kenarları saran parçalarla uğraşmaktır. Takılırsan yerleştiremediğin bir şekli ayrı tut ve diğerlerini o olmadan dene; çünkü son iki üç parça genellikle birlikte yerine oturur.

Neden bu kadar iyi bulmaca oluyorlar

Pentominolar tatlı bir noktada durur. 12 parçayla her şekli ve adını hâlâ aklında tutabilirsin. 63 duruşla her parça hemen her yöne bakabilir, bu yüzden bulmacalar esnek kalır. Ve fikir anlatması kolaydır: şekli boşluksuz doldur. Yeni başlayanlar üç dört parçalık küçük şekilleri çözebilir, uzmanlar tek bir 5x12 dikdörtgene bir akşam harcayabilir.

Pentolings'i onların etrafında kurmamızın nedeni de bu: 150 bölümlü neşeli bir şekil yerleştirme modu ve aynı parçaların yukarıdan düştüğü, renk patlattığın ikinci bir mod. On iki parçayla yavaş yavaş tanışmak istersen ilk bölümler aynı anda yalnızca üç parça kullanır ve her yeni dünya bir parça ekler.